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Vortrag Prof. Dr. Marcus Stiemer (Helmut-Schmidt-University Hamburg)

Beschreibung

Lösungen von Randwertaufgaben elliptischer partieller Differentialgleichungen, können mit Hilfe der entsprechenden Fundamentallösungen dargestellt werden. So können beispielsweise im Falle der Laplace-Gleichung in zwei Dimensionen konforme Abbildungen und konforme Invarianten numerisch bestimmt werden. Eine wichtige Anwendung des oben genannten Prinzips (in zwei oder drei Raumdimensionen) ist die Darstellung elektromagnetischer Größen wie z.B. der Kapazität, dem elektrischen Widerstand oder dem Wellenwiderstand technischer Vorrichtungen. Neben Finite-Elemente-Verfahren oder Randelement-Methoden stehen auch sogenannte "Extremalpunktmethoden" zur numerischen Bestimmung der Fundamentallösung elliptischer partieller Differentialgleichungen und der darüber darstellbaren Größen zur Verfügung. Die gesuchte Fundamentallösung (bzw. das gesuchte "Potential") wird dabei als Superposition endlich vieler Fundamentallösungen des gleichen Differentialoperators in einem einfacheren Gebiet - dies kann im einfachsten Fall der gesamte Raum sein - dargestellt. Die Positionen der Extremalpunkte ist über ein diskretes Energieminimierungsprinzip definiert. In diesem Vortrag wird die Extramalpunktmethode zunächst allgemein erläutert und mit anderen numerischen Verfahren, wie z.B. der Randelement-Methode verglichen. Anschließend werden für das logarithmische Potential in der Ebene und das Newtonsche Potential im R3 klassische Resultate über die Verteilung verschiedener Extremalpunktsysteme sowie daraus resultierende Approximationssätze für konforme Invarianten und elektrotechnische Größen behandelt. In diesem Zusammenhang werden Beispiele aus Funktionentheorie und elektrotechnischen Anwendungen vorgestellt, bei denen die numerische Bestimmung der Extremalpunkte über ein mathematisches Optimierungsverfahren, eine sogenannte Innere-Punkte-Methode erfolgt. Im letzten Teil des Vortrags werden allgemeinere Potentiale betrachtet.

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